暦に関する知識: 古代人はどのようにして 1 年が 365 日であると計算したのでしょうか?

古代人は地球が太陽の周りを回っていることを知りませんでした。しかし、運動は相対的なものであり、運動の参照対象は異なり、運動の形態も異なりますが、本質は同じです。地球が太陽の周りを回る動きは、太陽が地球の周りを回る動きにも変換できます。

太陽は地球の周りを回っており、この動きは太陽の「年周運動」と呼ばれます。夜空を見上げると、空全体が地球を中心とした球体であり、太陽、月、星がすべてこの球体に埋め込まれているように感じます。 ——この球体は「天球」と呼ばれています。太陽、月、星（厳密にはそれらの投影）はすべてこの天球上を動いています。

太陽の年間見かけの運動は、地球の公転を天球上に投影したものです。天球上の太陽の運動経路を「黄道」、天球上の月の運動経路を「白道」といいます。ちなみに、天球には赤道もあり、これは地球の赤道を天球上に投影したものです。

太陽、月、星など、天球上のすべての天体の動きは、観察および測定できます。古代人が 1 年の長さをどうやって計算したかは、もうお分かりですね。そうです、黄道上の太陽の運動周期を測定することで計算したのです。

それを測定するためにどのような具体的な方法が使用されるのでしょうか? まず第一に、太陽の年間見かけの動きの直感的な現れは、南から北へ、北から南への回帰であることを理解する必要があります。簡単に言うと、太陽は夏至に最も北に位置し、その後ゆっくりと南へ移動します。冬至に最も南に位置し、その後ゆっくりと再び北へ移動します。直感的に言えば、物体の影は冬至に最も長くなり、夏至に最も短くなります。

今は簡単です。太陽が黄道を一周するのにかかる時間である太陽年を測定するには、2 つの冬至の間の時間を測定するだけで済みます。 ——そこで、まず冬至がいつなのか（つまり冬至点）を判定しなければなりません。

冬至はどうやって決めるのでしょうか？とても簡単です。地面に棒を立てて、一年で影が最も長くなる時間を見ます。それが冬至です。これはグノモンと呼ばれ、太陽の年を測るのに使われる道具です。垂直のものは「ビオ」と呼ばれ、先ほど述べたように影を作るのに使われる棒です。水平のものは「グイ」と呼ばれ、目盛りの付いた定規で、影の長さを測るのに使われます。

原理は簡単に説明できますが、実際の操作は主に測定精度の問題が関係するため、非常に複雑です。ポールの影の端ははっきりせず、常にぼやけているため、ポールの影を正確に測定することは不可能です。当初、人々が考えた解決策は、分からセンチメートル、ミリメートル、秒へと、スケールをできるだけ細かくすることだった。ただし、測定精度の向上にはあまり役立ちません。

最終的な完璧な解決策は、元代の郭守敬によって提案されました。彼は河南省登封市に天文台を建設した。

通常の日時計と比べて、この天文台の第一の利点は高さがあることです。高さは通常の日時計の5倍です。その結果、影がそれに応じて長くなり、測定に便利です。さらに、もっと重要なことに、郭守景は「景府」と呼ばれる補助観測機器を発明しました。

風景シンボルは実際には回転軸を備えた銅板で、ベース上で上下に回転できます。銅板の真ん中に小さな穴があります。測定するには、風景シンボルを展望台の水平定規に置きます。太陽光は展望台の上部の隙間から差し込みます。上部の隙間にビームが置かれ、地面の水平定規にビームの影ができます。次に、風景シンボルを動かして、影が風景シンボルの小さな穴を通過するようにします。ピンホールイメージングの原理を使用して、定規上にビームを含む太陽画像が生成されます。風景シンボルを調整して、太陽画像がビームの真ん中で分割されるようにします。このとき、ピンホールイメージングでビームが位置するスケールが、垂直スケールの影の長さです。

測定を続けると、一年で影が最も長くなる瞬間が冬至であり、二つの冬至の間の長さが 1 熱帯年の長さであることがわかります。郭守敬が測定した熱帯年の長さは365.2425日であり、これは現代の測定値である365.2422日と非常によく一致しています。

しかし、冬至は必ずしも正午とは限らず、観測のみに基づいて 365.2425 という正確な値を得ることは困難です。そうですね。観測（特に古代の観測）では小数点以下4桁の正確な値を得ることは不可能です。このデータは、実際には観測データを処理した後に取得できます。このデータ処理方法は、Zu Chongzhi によって発明されました。

祖崇志はかつて、冬至の正確な地点を得るためにどのようにデータを処理したかを詳細に説明したことがある。彼は言った。「大明五年十月十日、影は十七・七五寸、十一月二十五日には十八・一寸、十一月二十六日には十七・五寸以上であった。その中間を取ると、冬至は十一月三日であるはずである。早いか遅いかを知るには、最後の二日間の影を引けば、一日の差である。それを方法に従って二倍し、最初の二日間の影を引いて、それに百撞を掛ければ、実際の時間が得られる。実際の時間を方法に従って割ると、冬至の時間は夜中零時後三十一撞となり、元嘉暦の一日後の日数となり、正しい日数となる。」

これを口語に訳すと、劉宋時代の大明5年10月10日に測った影の長さは10.775フィート、11月25日の影の長さは10.8175フィート（「太」は古代の数え方の記号で、最小単位は3/4）、26日の影の長さは10.7508フィート（「強」も古代の数え方の記号で、最小単位は1/12）となります。さて、冬至の正確な時刻を調べてみましょう。

祖崇志の原文を翻訳するのではなく、現代の数学的な言葉で説明します。まず、冬至は 10 月 10 日から 11 月 25 日の間であることがわかっています (なぜそれがわかったのかとお尋ねですか? 私は何百、何千もの測定経験に基づいて知っています)。そして、冬至の前後の影の長さの変化は対称的である (つまり、冬至の前の瞬間と後の瞬間の影の長さが等しい) という仮定を立てることができます。

これで、データ処理に進むことができます。横軸を時間、縦軸を影の長さにして、次のようなグラフを作成します。点 A が 10 月 10 日で、その影の長さが a (a=10.775)、点​​ B が 11 月 25 日で、その影の長さが b (b=10.8175)、点​​ C が 11 月 26 日で、その影の長さが c (c=10.7508) であるとします。

冬至点は AB の間にあるはずなので、E 点だと仮定しましょう。この瞬間、影が最も長くなります。点 D は AB の中点です (A は 10 月 10 日、B は 11 月 25 日なので、点 D は 11 月 3 日の 0:00 です)。ここで必要なのは点 E なので、DE の長さを計算するだけです。

b>c なので、B と C の間には対称点 A1 が存在し、その影の長さは a1=a になります。

DE=AE-AD (1)

AE=(AB+BA1)/2 (2)

AD=AB/2 (3)

式(2)と式(3)を式(1)に代入すると、DE=BA1/2 (4)が得られる。

三角形の相似原理によれば、(b-a1)/(bc)=BA1/BC

つまり、BA1=(b-a1)·BC/(bc)

紀元前25日から26日は1昼夜であり、1昼夜は100ケ（古代の100ケ制では1昼夜は100ケ）であるため、

したがって、BA1=100(ba)/(bc)

これを式(4)に代入すると、

DE=50×(ba)/(bc)

したがって、DE = 50 × (10.8175-10.775) / (10.8175-10.7508) = 31 (ティック)

つまり、明代5年の冬至は11月3日31時1分だったことになります。

祖崇志が発明したアルゴリズムは、中国人が冬至点を探すための古典的なアルゴリズムになりました。郭守敬もこのアルゴリズムを使用しました。郭守敬は独自の測定を行い、祖崇志の時代以来最も正確であると信じていた6つの冬至点のデータを使用しました。そして最終的に、熱帯年は365.2425日であると結論付けました。