怎么计算协方差

协方差是统计学中使用的一种数值，用于描述两个变量间的线性关系。两个变量的协方差越大，它们在一系列数据点范围内的取值所呈现出的趋势就越相近（换句话说，两个变量的曲线距离彼此较近）。一般来说，两组数值x和y的协方差可以用这个公式计算：1/(n -1)Σ(x_i - x_avg)(y_i - y_avg)。其中n为样本量，x_i是每个x点的取值，x_avg为x的平均值，y_i和y_avg也类似。

步骤

使用标准方差公式

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/cd\/Calculate-Covariance-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/cd\/Calculate-Covariance-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 把你的数据整理成一系列(x,y)取值点。你只需要两个变量x和y的一系列取值就可以计算出方差。如果你使用的是一个图上的数据点，你的数据应该来自图上的一系列(x,y)交点。或者，则需要通过数学方法找出两个变量的一一对应值。
   • 记下相对应的x/y数据对的数量。这就是“n”，即样本大小，计算方差时需要用到。
   • 举个例子，假设我们开了一家熟食店，需要确定所发出的优惠券是否会对销量产生影响。我们可以将x定义为“在优惠日发放出去的优惠券数量”，将y定义为“当日销量”。
   • 为了方便起见，我们使用上图中的表格作为参考，即，第一天我们发放出x=1优惠券，卖出y=8，第二天发放x=3优惠券，卖出y=6，等等。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/4\/42\/Calculate-Covariance-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/4\/42\/Calculate-Covariance-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 计算x的平均值。在得到一系列x/y取值之后，剩下的工作就不多了。首先计算x的平均值，将所有的x值相加再除以样本量（进一步参考我们关于计算平均值的文章）。
   • 在我们的例子中，我们需要将上表中“x”栏中的数值相加，再除以数值的个数。计算1+3+2+5…，最终得到44。再除以9，得到44/9 = 4.89就是x的平均值。见下：
     

     1 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 + 12 + 2 + 4 = 44
     44/9 = 4.89

3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/8\/8c\/Calculate-Covariance-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/8\/8c\/Calculate-Covariance-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 计算y的平均值。下一步是计算y的平均值，和计算x的平均值方法一样：把y的值相加，除以样本量。
   • 在我们的例子中，应该计算8+6+9+4...得到49。除以样本量，得到49/9 = 5.44即为y的平均值。见下：
     

     8 + 6 + 9 + 4 + 3 + 3 + 2 + 7 + 7 = 49
     49/9 = 5.44

4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/1\/1b\/Calculate-Covariance-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/1\/1b\/Calculate-Covariance-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 将计算出的值代入公式中：1/(n-1)Σ(x_i - x_avg)(y_i - y_avg)。注意公式中的sigma（Σ）符号，意思是每个x值都要减去平均值，再加起来（y也一样）。计算量比较大，所以需要非常仔细，避免出错。
   • 在我们的例子中，需要如下计算：
     

     1/(n -1)Σ(x_i - x_avg)(y_i - y_avg)
     
     (1/8)(((1 - 4.89)+(3 - 4.89)+(2 - 4.89)+(5 - 4.89)+(8 - 4.89)+(7 - 4.89)+(12 - 4.89)+(2 - 4.89)+(4 - 4.89))((8 - 5.44)+(6 - 5.44)+(9 - 5.44)+(4 - 5.44)+(3 - 5.44)+(3 - 5.44)+(2 - 5.44)+(7 - 5.44)+(7 - 5.44))
     
     (1/8)((-0.01)((8 - 5.44)+(6 - 5.44)+(9 - 5.44)+(4 - 5.44)+(3 - 5.44)+(3 - 5.44)+(2 - 5.44)+(7 - 5.44)+(7 - 5.44))
     
     (1/8)(-0.01)(0.04) = 0.00005

   • 下文会提到，我们的答案0.00005非常接近0，意味着发放出的优惠券数量对熟食店的销量在实质上没有影响。

使用协方差值

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/8\/81\/Calculate-Covariance-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/8\/81\/Calculate-Covariance-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 协方差值等于1意味着完全正相关。协方差值永远介于1和-1之间。在这个范围外的值说明计算出错了。根据协方差值接近1或-1的程度得出结论。例如，如果协方差值正好等于1，则两个变量完全正相关。也就是说，一个变量会随着另一个变量的增加而增加（减少而减少）。这种关系是完全线性的——无论变量取值多大或多小，两个变量之间的关系都一样。
   • 举个例子，考虑出售柠檬水这一简单的生意。每杯柠檬水卖3元。如果x代表卖出的柠檬水杯数，y代表收入，则y永远会随着x的增加而增加。见下：
     

     卖出10杯柠檬水：x = 10, y = ￥30
     卖出100杯柠檬水：x = 100, y = ￥300
     卖出一百万杯柠檬水：x = 1,000,000, y = ￥3,000,000
     无论x值多大，y永远等于3(x)。因此，可以说x和y完全正相关，也就是相关系数等于1。

2. 2 协方差值等于-1意味着完全负相关。另一方面，如果协方差值为-1，则两个变量完全负相关。^[1] 换句话说，一个变量的增加会导致另一个变量减小，反之亦然。跟上文一样，这个关系也是线性的。两个变量分离的比率不随时间变化。
   • 举个例子，假设我们正在管理一个油井，总共能钻出一万桶油。x等于已经钻出的桶数，y等于还在油井里的桶数，那么只要x增加，y就减小。换句话说，已经钻出来的油绝对不可能回到井内。^[2] 见下：
     

     钻出一桶油： x = 1, y = 9,999
     已钻出2000桶油：x = 2,000, y = 8,000。
     已钻出10000桶油：x = 10,000, y = 0。
     只要x增加，y就以相同的速率减少。这个关系是线性的——每钻出一桶油就意味着地下的油少了一桶。因此我们说x和y完全负相关，也就是说相关系数为-1。

3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/cd\/Calculate-Covariance-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/cd\/Calculate-Covariance-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 要知道协方差为0意味着不相关。如果协方差为0，说明两个变量不相关。^[3] 换句话说，我们不会预测一个变量增加或减少将导致另一个变量的增加或减少。两个变量间没有线性关系，但仍然可能存在非线性关系。
   • 举个例子，假设一个人正在接受针对一种病毒性疾病的顺势疗法。如果x表示用药剂量（以茶匙计），y表示病人血管中的病毒载量（以每毫升国际单位（IU/mL）计），我们没法预测y会随着x的增加而增加或减少。y的波动与x完全独立^[4] 。见下：
     

     摄入一茶匙：x = 1, y = 615。
     摄入10茶匙：x = 10 y = 700。
     摄入20茶匙：x = 20, y = 455。
     x增加，无法预测y会增加还是减少。两者之间的关系不明——有时候摄入药量多，会使得病毒载量减少，但有时候会使得病毒载量增加。因此，我们可以认为x和y几乎不相关。

4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/af\/Calculate-Covariance-Step-8.jpg\/v4-460px-Calculate-Covariance-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/af\/Calculate-Covariance-Step-8.jpg\/v4-728px-Calculate-Covariance-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 要知道介于-1和1之间的值意味着不完全相关。大部分协方差值都不会严格等于1，-1或0，通常会介于它们之间。根据一个协方差值接近某一个基准值的程度，可以判断其是正相关还是负相关。
   • 例如，协方差值0.8意味着高度正相关，尽管不是完全相关。也就是说，如果x增加，y通常会增加，x减小，y通常会减小，尽管这个关系不是完全稳定的。

小提示

• 阅读关于散点图的文章和计算相关系数的文章，可以得到相关信息。
• 协方差方程往往用于对比股票——投资者希望知道某两只股票会不会随着彼此波动。要回答这个问题，你只需要一张对比两只股票在一段时间内每日走势的表，见下：
  

  A公司(x): (1.6 + 1.9 + 2.1 + 3.2 + 0.5 + 0.4 + 0.6)/7 = 1.47
  B公司(y): (2.0 + 2.4 + 2.6 + 3.6 + 0.9 + 0.8 + 1.0)/7 = 1.9
  
  (1/n-1)(Σ(x_i - x_avg)(y_i - y_avg)
  
  (1/6)(((1.6 - 1.47)+(1.9 - 1.47)+(2.1 - 1.47)+(3.2 - 1.47)+(0.5 - 1.47)+(0.4 - 1.47)+(0.6 - 1.47))((2.0 - 1.78)+(2.4 - 1.78)+(2.6 - 1.78)+(3.6 - 1.78)+(0.9 - 1.78)+(0.8 - 1.78)+(1.0 - 1.78))
  
  (1/6)((0.01)(0.84))
  
  (1/6)(0.084) = 0.14。