怎么计算等腰三角形的面积

等腰三角形是有两条边边长相等的三角形。这两条等边与底边所成的角度相等，而且交点位于底边中点的正上方。你可以用直尺和两支长度一样的铅笔来做试验。如果你试着把三角形向任意方向倾斜，铅笔笔尖就无法相交。等腰三角形这些特别的属性让你只需要几条信息，就能计算出其面积。

步骤

通过边长计算面积

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/9\/90\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/9\/90\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 复习平行四边形的面积计算。任何有两组平行边的四边形都是平行四边形，包括正方形和矩形。所有平行四边形都有一个简单的面积公式：面积等于底乘以高，即A = bh。^[1] 如果将平行四边形平放在水平面上，则底边是接触水平面的那条边。顾名思义，高则是离地面的高度，即底边到对边的距离。测量时，高应该与底边成90度直角。
   • 对于正方形和矩形，高就等于垂直边的长度，因为这些边与地面成直角。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 比较三角形和平行四边形。这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半，我们就得到了两个相同的三角形。反之，如果有两个相同的三角形，你可以将它们组合到一起，得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ½bh，即对应的平行四边形面积的一半。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/4\/4d\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/4\/4d\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了，但在等腰三角形中，到底什么是“底”，什么是“高”呢？底比较好理解，直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。
   • 例如，如果等腰三角形的边长分别为5cm、5cm和6cm，则6cm那条边就是底边。
   • 如果三角形的三条边边长都相等，即该三角形是等边三角形，那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形，但你可以用相同的方法来计算面积。^[2]
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/7\/7e\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/7\/7e\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高，我们以“h”指代。算出“h”的值后，你就能求出面积。
   • 在等腰三角形中，这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a3\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a3\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 看看等腰三角形的半边。注意，是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个，确定三条边：
   • 一条直角边的边长等于底边的一半：${\displaystyle \frac{b}{2}}$。
   • 另一条直角边是高“h”。
   • 直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为“s”。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6 使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度，你就能用勾股定理算出第三条边的长度：(边1)² + (边2)² = (斜边)²，将我们在此问题中使用的变量代入进去，得到${\displaystyle (\frac{b}{2}{)}^2+h^2=s^2}$.
   • 你可能已经学过勾股定理，公式是${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$。用“边”和“斜边”来代替a、b、c，可以避免与之前的三角形变量相混淆。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 求出“h”。记住，面积公式用要用到“b”和“h”，但你还不知道“h”值。将公式变形，求出“h”：
   • ${\displaystyle (\frac{b}{2}{)}^2+h^2=s^2}$
     ${\displaystyle h^2=s^2-(\frac{b}{2}{)}^2}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{s}^2-(\frac{b}{2}{)}^2)}$。
8. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/07\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/07\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8 将三角形的值代入进去，求出“h”。知道这个公式后，你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入“b”，将腰的长度代入“s”，然后就能算出“h”的值。
   • 例如，等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm，则“b”= 6，而“s”= 5。
   • 将这些值代入公式：
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{s}^2-(\frac{b}{2}{)}^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{5}^2-(\frac{6}{2}{)}^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}25-3^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}25-9)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}16)}$
     ${\displaystyle h=4}$ cm。
9. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/9\/94\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/9\/94\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9 在面积公式中代入底和高。知道这些值后，你就可以使用本节开头的公式了，即面积 = ½bh。将你已知的b和h值代入到本公式中，计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。
   • 这里仍然使用以上示例，边长为5-5-6的三角形底长为6 cm，高为4 cm。
   • A = ½bh
     A = ½(6cm)(4cm)
     A = 12cm²。
10. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 10 试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根，无法被简化为整数。如果出现这种情况，可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例：
    • 求边长分别为8cm、8cm和4cm的三角形的面积。
    • 将边长为4cm，与其他边的边长不相等的那条边当做“b”。
    • 高${\displaystyle h=\sqrt{8^2-(\frac{4}{2}{)}^2}}$
      ${\displaystyle =\sqrt{64-4}}$
      ${\displaystyle =\sqrt{60}}$
    • 分解因数来简化平方根：${\displaystyle h=\sqrt{60}=\sqrt{4\ast 15}=\sqrt{4}\sqrt{15}=2\sqrt{15}}$。
    • 面积 ${\displaystyle =\frac{1}{2}bh}$
      ${\displaystyle =\frac{1}{2}(4)(2\sqrt{15})}$
      ${\displaystyle =4\sqrt{15}}$
    • 答案写成这个样子就可以了，你也可以在计算器中输入这个值，求出一个近似的小数，即约15.49平方厘米。

使用三角学

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 从一条边和一个角开始。如果学过三角学，那么即使不知道等腰三角形某一条边的长度，你也可以算出它的面积。这里有一道例题，你只知道以下条件：^[3]
   • 腰的长度“s”为10cm。
   • 两条腰所成的夹角θ等于120度。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点，向底边画一条垂直于底边的线段。这样，你就得到了两个相同的直角三角形。
   • 这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于½θ，而在本例中，(½)(120) = 60度。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 使用三角学，算出“h”的值。由于得到的是直角三角形，所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中，你知道斜边，想算出与已知角的邻边“h”的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边，我们可以利用已知角求出“h”：
   • cos(θ/2) = h / s
   • cos(60º) = h / 10
   • h = 10cos(60º)
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/4\/4f\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/4\/4f\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中，还有一条边的长度是我们未知的，你可以将它设为“x”。因为正弦 = 对边/斜边，所以：
   • sin(θ/2) = x / s
   • sin(60º) = x / 10
   • x = 10sin(60º)
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/1\/1b\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/1\/1b\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 将x与等腰三角形的底边关联起来。现在你可以将关注的对象“扩大到”整个等腰三角形。由于底边“b”被分为两段，每段长度均为“x”，所以“b”等于2倍的“x”。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6 将你算出的“h”值和“b”值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后，你可以使用标准公式A = ½bh：
   • ${\displaystyle A=\frac{1}{2}bh}$
     ${\displaystyle =\frac{1}{2}(2x)(10cos60)}$
     ${\displaystyle =(10sin60)(10cos60)}$
     ${\displaystyle =100sin(60)cos(60)}$
   • 你可以使用计算器的角度计算，将结果输入到计算器中，这样算出来的答案是约等于43.3平方厘米。或者，你可以应用三角函数的特性，把它简化为A = 50sin(120º)。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 将这种计算方法变成通用公式。知道解答过程后，你可以使用通用公式，而不必每次都完成整个推导和计算过程。如果你不使用任何具体值，重复这一计算过程，并应用三角函数的特性，最终可以得到结果：^[4]
   • ${\displaystyle A=\frac{1}{2}{s}^{2}sin\theta }$
   • s是腰的长度。
   • θ是两条腰的夹角。

小提示

• 如果你面对的是有两条等边和一个直角的等腰直角三角形，面积计算会简单得多。你可以用一条直角边做底，另一条直角边做高。这时，公式A = ½ b * h可以简化为½s²，其中s是直角边的长度。
• 平方根有两个解，一个正数，一个负数。在几何问题中，你可以忽略掉负数解，因为没有任何三角形会有“负数高”。
• 某些三角学问题提供的初始条件可能有所不同，比如告诉你等腰三角形底边的长度和一个角的角度。基本解法是一样的，将等腰三角形分成直角三角形，然后利用三角函数解出高度值。