怎么解三次方程

三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

步骤

解不含常数项的三次方程

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 检查三次方程，看是否包含常数项$$d{\displaystyle d}。三次方程的形式为${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$。但是，唯一必要的关键项是${\displaystyle x^3}$，这意味着三次方程中未必会出现其他项。^[1]
   • 如果方程中包含常数项${\displaystyle d}$，那么你就必须使用其它解法。
   • 如果${\displaystyle a=0}$，那么这个方程就不是三次方程。^[2]
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 提取方程的公因式$$x{\displaystyle x}。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量${\displaystyle x}$。也就是说，可以提取方程的公因式${\displaystyle x}$来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为${\displaystyle x(a{x}^2+bx+c)}$。^[3]
   • 例如，假设我们一开始要解的方程是${\displaystyle 3x^3-2x^2+14x=0}$。
   • 提取方程的公因式${\displaystyle x}$，得到${\displaystyle x(3x^2-2x+14)=0}$。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式${\displaystyle x}$后得到的二次方程${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$都能被因式分解。例如，如果要解${\displaystyle x^3+5x^2-14x=0}$，你可以：^[4]
   • 提取公因式${\displaystyle x}$：${\displaystyle x(x^2+5x-14)=0}$
   • 将括号内的二次方程因式分解：${\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}$
   • 设各因式等于${\displaystyle 0}$。得到方程的解${\displaystyle x=0,x=-7,x=2}$。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$的值代入二次公式(${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$)中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。^[5]
   • 示例中，将${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$的值${\displaystyle 3}$、${\displaystyle -2}$和${\displaystyle 14}$分别代入到以下二次公式：

     ${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

     ${\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{((-2{)}^2-4(3)(14)}}{2(3)}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4-(12)(14)}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{(4-168}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{-164}}{6}}$

   • 解1:

     ${\displaystyle \frac{2+\sqrt{-164}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2+12.8i}{6}}$

   • 解2:

     ${\displaystyle \frac{2-12.8i}{6}}$

5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为${\displaystyle 0}$。^[6]
   • 将方程分解为包含两个因式的形式${\displaystyle x(a{x}^2+bx+c)=0}$，左边的因式是变量${\displaystyle x}$，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于${\displaystyle 0}$，则整个方程等于${\displaystyle 0}$。
   • 因此，使括号内的二次因式等于${\displaystyle 0}$的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于${\displaystyle 0}$的${\displaystyle 0}$本身，也是三次方程的解。

使用因数表求整数解

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 确保三次方程有一个$$d{\displaystyle d}值不等于零的常数项。如果形式为${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$的方程拥有一个不等于零的${\displaystyle d}$值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。^[7]
   • 以方程${\displaystyle 2x^3+9x^2+13x=-6}$为例。这个方程中，要让等号的右边等于${\displaystyle 0}$，你需要两边都加${\displaystyle 6}$。
   • 得到新的方程${\displaystyle 2x^3+9x^2+13x+6=0}$。由于${\displaystyle d=6}$，你无法使用二次方程方法。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 找出$$a{\displaystyle a}和$$d{\displaystyle d}的因数。要解三次方程，我们需要先关注${\displaystyle x^3}$项的系数${\displaystyle a}$以及方程最后的常数项${\displaystyle d}$，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。^[8]
   • 例如，由于你可以用${\displaystyle 6\times 1}$和${\displaystyle 2\times 3}$得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
   • 例题中，${\displaystyle a=2}$，而${\displaystyle d=6}$。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 用$$a{\displaystyle a}的因数除以$$d{\displaystyle d}的因数。将${\displaystyle a}$的各因数除以${\displaystyle d}$的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。^[9]
   • 例题中，用${\displaystyle a}$的因数1和2除以${\displaystyle d}$的因数1、2、3、6，得到：${\displaystyle 1}$，${\displaystyle \frac{1}{2}}$，${\displaystyle \frac{1}{3}}$，${\displaystyle \frac{1}{6}}$，${\displaystyle 2}$和${\displaystyle \frac{2}{3}}$。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整：${\displaystyle 1}$，${\displaystyle -1}$，${\displaystyle \frac{1}{2}}$，${\displaystyle -\frac{1}{2}}$，${\displaystyle \frac{1}{3}}$，${\displaystyle -\frac{1}{3}}$，${\displaystyle \frac{1}{6}}$，${\displaystyle -\frac{1}{6}}$，${\displaystyle 2}$，${\displaystyle -2}$，${\displaystyle \frac{2}{3}}$和${\displaystyle -\frac{2}{3}}$。三次方程的整数解就在其中。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于${\displaystyle 0}$，进而求出方程的解。例如，如果将${\displaystyle 1}$代入方程，可以得到：^[10]
   • ${\displaystyle 2(1{)}^3+9(1{)}^2+13(1)+6}$，即${\displaystyle 2+9+13+6}$，结果不等于${\displaystyle 0}$。因此，使用得到的下一个值。
   • 如果将${\displaystyle -1}$代入方程，得到${\displaystyle (-2)+9+(-13)+6}$，结果等于${\displaystyle 0}$。这意味着${\displaystyle -1}$是方程的一个整数解。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$。如果得到余数${\displaystyle 0}$，那么这个值就是三次方程的解。^[11]
   • 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 由于得到的最终余数为${\displaystyle 0}$，由此可知，${\displaystyle -1}$是三次方程的一个整数解。

使用判别式方法

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 写下$$a{\displaystyle a}、$$b{\displaystyle b}、$$c{\displaystyle c}和$$d{\displaystyle d}的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$和${\displaystyle d}$的值，免得之后混淆。^[12]
   • 对于例题${\displaystyle x^3-3x^2+3x-1}$，写下${\displaystyle a=1}$、${\displaystyle b=-3}$、${\displaystyle c=3}$和${\displaystyle d=-1}$。注意，如果有${\displaystyle x}$变量前没有系数，这代表它的系数为${\displaystyle 1}$。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0=b^2-3ac}$中，求出第一个重要数值，即判别式零${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$。^[13]
   • 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是(${\displaystyle b^2-4ac}$)。
   • 例题中的计算过程如下：

     ${\displaystyle b^2-3ac}$

     ${\displaystyle (-3{)}^2-3(1)(3)}$

     ${\displaystyle 9-3(1)(3)}$

     ${\displaystyle 9-9=0={\mathrm{\Delta }}_0}$

3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 然后，计算$$Δ1=2b3−9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}。你需要的下一个重要数值是判别式${\displaystyle 1}$，即${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$基本相同。将适当的值代入到公式${\displaystyle 2b^3-9abc+27a^{2}d}$中，得到${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$的值。^[14]
   • 例题中的计算过程如下：

     ${\displaystyle 2(-3{)}^3-9(1)(-3)(3)+27(1{)}^2(-1)}$

     ${\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}$

     ${\displaystyle -54+81-27}$

     ${\displaystyle 81-81=0={\mathrm{\Delta }}_1}$

4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 计算: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)÷-27a^2}$。然后，我们会使用${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$和${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。^[15]
   • 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
   • 例题中，由于${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$和${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$都等于${\displaystyle 0}$，所以${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$的计算相对简单。计算过程如下：

     ${\displaystyle ({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)÷(-27a^2)}$

     ${\displaystyle ((0{)}^2-4(0{)}^3)÷(-27(1{)}^2)}$

     ${\displaystyle 0-0÷27}$

     ${\displaystyle 0=\mathrm{\Delta }}$，所以方程有一个或两个解。

5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/1\/1d\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/1\/1d\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 计算: ${\displaystyle C{=}^3\sqrt{\left(\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3}+{\mathrm{\Delta }}_1\right)÷2}}$。最后一个需要计算的重要数值是${\displaystyle C}$。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$和${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$。
   • 例题中，${\displaystyle C}$的计算过程如下：

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)+{\mathrm{\Delta }}_1}÷2}}$

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{(0^2-4(0{)}^3)+(0)}÷2}}$

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{(0-0)+0}÷2}}$

     ${\displaystyle 0=C}$

6. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6 使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式${\displaystyle -(b+u^{n}C+{\mathrm{\Delta }}_0÷(u^{n}C))÷3a}$计算，其中${\displaystyle u=(-1+\sqrt{-3})÷2}$，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
   • 你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
   • 例如，将1代入到${\displaystyle x^3-3x^2+3x-1}$中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。