怎么对二项式进行因式分解

在代数中，二项式是以加号或减号相连的二项表达式，例如ax + b。第一项必定包含一个变量，而第二项则不一定。对二项式做因式分解指的是将二项式分解成更简单的项，这些项相乘后可以得到该二项式，因式分解可以简化二项式，为进一步使用做好准备。

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对二项式进行因式分解

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- 32的因数有1、2、4、8、16、32。
- 数字“1”和你分解的数字本身必定是因数。因此，像3这样的小数字的因数只有1和3。
- 因数只包括可以整除的数字，即“整数”。你可以用3.564或21.4952去除32，但它们不构成32的因数，仅仅是一个小数。
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- 3t + 6 → 6 + 3t
- 3x⁴ + 9x² → 9x² + 3x⁴
- x² - 2 → -2 + x²
  - 注意，2前面的负号在重新排序后得到了保留。如果项是减数，重新排序时请保留前面的负号。
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- 练习题：3t + 6。
  - 3的因数：1，3
  - 6的因数：1, 2, 3, 6。
  - 最大公因数为3。
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- 练习题：3t + 6。
- 求最大公因数：3
- 从两项中约去因数：3t/3 + 6/3 = t + 2
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- 练习题：3t + 6
- 求最大公因数：3
- 从两项中约去因数：3t/3 + 6/3 = t + 2
- 用因数乘以新表达式：3(t + 2)
- 因式分解后的最终答案：3(t + 2)
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- 重新排列两项的顺序：18 + 12t
- 找出最大公因数：6
- 从两项中约去因数：18t/6 + 12t/6 = 3 + 2t
- 用因数乘以新表达式：6(3 + 2t)
- 检查答案：(6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t

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分解二项式来解方程

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- 练习题：5y - 2y² = -3y
- 记住，二项式必须只包含两项。如果项数多于二，你就必须用到解多项式的相关知识。
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- 练习题：5y - 2y² = -3y
- 使等式等于零：5y - 2y² + 3y = -3y + 3y
  - 8y - 2y² = 0
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- 练习题：5y - 2y² = -3y
- 使等式等于零：8y - 2y² = 0
- 因式分解：2y(4 - y) = 0
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- 练习题：5y - 2y² = -3y
- 使等式等于零：8y - 2y² + 3y = 0
- 因式分解：2y(4 - y) = 0
- 设两个因式等于0：
  - 2y = 0
  - 4 - y = 0
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- 2y = 0
  - 2y/2 = 0/2
  - y = 0
- 4 - y = 0
  - 4 - y + y = 0 + y
  - y = 4
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- 5(0) - 2(0)² = -3(0)
  - 0 + 0 = 0
  - 0 = 0 所以，这个答案是正确的
- 5(4) - 2(4)² = -3(4)
  - 20 - 32 = -12
  - -12 = -12 所以，这个答案也是正确的。

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处理更复杂的问题

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- 由于两项都包含t，所以2t + t²可被因式分解，分解后的答案等于t(2 + t)。
- 你甚至可以一次提取多个变量。例如，在x² + x⁴中，两项都包含相同的x²。你可以将之分解为x²(1 + x²⁾。
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- 初始问题：6 + 2x + 14 + 3x
- 重新排列各项：2x + 3x + 14 + 6
- 合并同类项： 5x + 20
- 求最大公因数：5(x) + 5(4)
- 因式分解：5(x+4)
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- 完全平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
- 练习题：4x² - 9
- 求平方根
  - √4x² = 2x
  - √9 = 3
- 将平方代入到公式中： 4x² - 9 = (2x + 3)(2x - 3)^{[1]
  X
  研究来源}
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- 完全立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
- 练习题：8x³ - 27
- 求立方根：
  - ∛8x³ = 2x
  - ∛27 = 3
- 将立方代入到公式中： 8x³ - 27 = (2x - 3)(4x² + 6x + 9)^{[2]
  X
  研究来源}
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- 完全立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- 练习题：8x³ - 27
- 求立方根：
  - ∛8x³ = 2x
  - ∛27 = 3
- 将立方代入到公式中： 8x³ - 27 = (2x + 3)(4x² - 6x + 9)^{[3]
  X
  研究来源}

小提示

并非所有二项式都有公因数（式）！有些二项式已经是最简形式。
如果你不确定是否有公因数（式），可以先用更小的数（式）去除。例如，如果你不知道16是32和16的公因数，可以先用2除这两个数。你会得到16和8，它们还可以被8整除。除完后你会得到2和1，它们是最小因数。显然，32和16有一个大于8和2的公因数。
注意，x⁶这样的6次方既是完全平方式，‘’又是’’完全立方式。因此，你可以对x⁶ - 64这样的完全六次方二项式使用前文所述的两种特殊公式，使用顺序随意。但是，你会发现，先用完全平方差公式会比较简单，因为这样你能更彻底地分解二项式。