怎么化简有理式

有理式需要被化简到最简形式。如果公因式是个简单因子的话，这个过程并不复杂。但是如果是个复杂的多项式，这个过程会有点困难。下文中将告诉你面对不同的表达式时，怎样化简有理式。

方法 1 的 3:

只含单项式的有理式

{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/4\/4e\/Simplify-Rational-Expressions-Step-1.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/4\/4e\/Simplify-Rational-Expressions-Step-1.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 观察题目。^{[1]
X
研究来源}只包含单项式的有理式是最容易化简的，你只要将分子和分母所包含的公公因子约去即可。
- 本文中“单”代表“一个”的意思。
- 例: 4x/8x²
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/3\/3c\/Simplify-Rational-Expressions-Step-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/3\/3c\/Simplify-Rational-Expressions-Step-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 约掉所有的公共因子。观察表达式中的字母变量，如果在分子和分母中同时都出现，就可以将这个变量从两边的表达式中约去。
- 换句话说，如果一个变量在分子和分母中都只出现一次，那么就可以被彻底约掉： x/x = 1/1 = 1
- 如果变量在分子或分母中都以幂次的形式出现，那么就将高次项的幂次减去低次项的幂次即可： x⁴/x² = x²/1
- 例: x/x² = 1/x
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- 如果常数项不含公因数，那就不用化简: 7/5
- 如果一个常数能被另一个整除的话，就被认为是同类项: 3/6 = 1/2
- 例: 4/8 = 1/2
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X
研究来源}
- 例: 4x/8x² = 1/2x

方法 2 的 3:

含有单项式因子的二项式或多项式

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- 在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。
- 例: (3x)/(3x + 6x²)
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- 只有当式子中的每一项都含有该变量时这个做法才是对的： x/x³ – x² + x = (x)(x² – x + 1)
- 如果式子中有一项不含这个变量，就不能提取公因式： x/x² + 1
- 例: x/(x + x²) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/8\/84\/Simplify-Rational-Expressions-Step-7.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/8\/84\/Simplify-Rational-Expressions-Step-7.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 将常数项的公因子也提取出来。如果代数式中的所有常数项含有公因数，那么就将分子和分母中的每一项都除以这个公因数。
- 如果有一个常数项能够被其他所有项整除，那么这一项就是所有项的最大公因数: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]
- 只有当式子中的所有项都含有这个公因数时，这样的作法才是正确的: 9 / (6 – 12) = 3 * [3 / (2 – 4)]
- 如果其中有不含这个公因数的项，那就不能化简。: 5 / (7 + 3)
- 例: 3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/f\/fb\/Simplify-Rational-Expressions-Step-8.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/f\/fb\/Simplify-Rational-Expressions-Step-8.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 提出公因式。将化简过后的变量和常数项重新组合在一起，写出公因式的形式。将分子和分母同时提出这个公因式，留下不能再被进一步化简的部分。
- 例: (3x)/(3x + 6x²) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)]
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/0\/0d\/Simplify-Rational-Expressions-Step-9.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/0\/0d\/Simplify-Rational-Expressions-Step-9.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 写出最后的答案。将提取出的公因式约掉得到的就是化简好的有理式。
- 例: [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)] = 1/(1 + x)

方法 3 的 3:

含有二项式因子的二项式或多项式

{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/3\/30\/Simplify-Rational-Expressions-Step-10.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/3\/30\/Simplify-Rational-Expressions-Step-10.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 观察题目。如果有理式中不包含单项式因子，那么就需要从分子和分母中分解出二项式因子。
- 在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。
- 例: (x² - 4) / (x² - 2x - 8)
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/b\/b5\/Simplify-Rational-Expressions-Step-11.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/b\/b5\/Simplify-Rational-Expressions-Step-11.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 将分子分解成二项式相乘的形式。因式分解时你必须要决定可能的关于x的分解形式。
- 例: (x² – 4) = (x - 2) * (x + 2)
  - 为了求出关于x的解，我们需要把关于x的项放到等式一边，常数项放到等式另外一边: x² = 4
  - 两边开根号，将x化为一次项。: √x² = √4
  - 注意任何一个数开平方根都可以得到一个正根和一个负根，因此，x的解为: -2, +2
  - 根据上面得到的结果，我们可以将(x² – 4) 进行因式分解化为: (x - 2) * (x + 2)
- 通过将分解好的多项式乘回去可以检查分解的结果正确与否。如果你对结果的正确性没有自信的话，就把多项式乘回去，看看是不是和原来的式子一致。
  - 例: (x - 2) * (x + 2) = x² + 2x - 2x – 4 = x² – 4
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/b\/b4\/Simplify-Rational-Expressions-Step-12.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/b\/b4\/Simplify-Rational-Expressions-Step-12.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 同样将分母也分解为二项式相乘的形式。同样你需要求出这个等式中x的解。
- 例: (x² - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
  - 为了求解x，我们将常数项放到等式一边，含x的项放在等式另一端。: x² − 2x = 8
  - 将x的一次项系数除二，然后再两端加上配方所需的常数: x² − 2x + 1 = 8 + 1
  - 将等式化简为完全平方式的形式: (x − 1)² = 9
  - 两边同时开根号: x − 1 = ±√9
  - 求得x的解: x = 1 ±√9
  - 对于二次多项式来说，x有两个可能的解。^{[3]
    X
    研究来源}
  - x = 1 - 3 = -2
  - x = 1 + 3 = 4
  - 因此, (x² - 2x – 8)可以被分解为 (x + 2) * (x – 4)
- 将分解后得到的式子乘回去进行检查。如果你对得到的答案没有把握的话，就把分解后的式子乘回去，看看能不能得到原来的表达式。
  - 例: (x + 2) * (x – 4) = x² – 4x + 2x – 8 = x² - 2x - 8
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a4\/Simplify-Rational-Expressions-Step-13.jpg\/v4-460px-Simplify-Rational-Expressions-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Simplify-Rational-Expressions-Step-13.jpg\/v4-728px-Simplify-Rational-Expressions-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 约掉公因式。找到分子和分母之间的公因式，将公因式提取出来，留下不含公因式的有理式。
- 例: [(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]
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X
研究来源}
- 例: (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)