怎么因式分解三项式

代数中，三项式是三个项组成的多项式，最常见的形式是二次三项式 (ax²+bx+c)。不过不是所有三项式都是二次的。有的还有更高次数。多项式在数学和科学中都很有用，学好因式分解多项式的方法，可以在很多领域中得心应手。下面介绍因式分解三项式的技巧步骤。有很多特殊三项式可以因式分解，但如果碰到分解不了的，要学会用通常方法来分解高次三项式。

步骤

1 把三项中的公因子提出来。如果三个项系数都有相同因数，提出来。或者含有共同变量，也提出来。

方法 1 的 5:

二次三项式

{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Factor-Trinomials-Step-2.jpg\/v4-460px-Factor-Trinomials-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Factor-Trinomials-Step-2.jpg\/v4-728px-Factor-Trinomials-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 把三项式参数按从大到小次数排列。参数是多项式中的变量，正常顺序就是按次数大到小来排列的。因此 5 + x² + 6x 要被整理成 x² + 6x + 5
- 因此而三项式3x² + 18x + 15 中每个项都是3的倍数，3 提出来得到3(x² + 6x + 5).
- 在- x² - 2x - 1 每个项都含有 -1 ，提出来变成 (-1)(x² + 2x + 1) ，或者更一般的形式 -( x² + 2x + 1)
- 三项式 3x² y + 3xy - 60y 中每项都有 3y ，提出变成 3y(x² + x - 20)。
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- 因此对于x² + 6x + 5 ，每个二项式因式的首项都是x ，因为x乘以x是 x²。因式的次项应该是5 和 1，因为5乘以1等于5。分解出来的二项式因式应该是(x + 5)(x + 1)，可以把第一个因式的 x 乘以后一个因式的1，得到x，然后把后一个因式x乘以前一个5，得到5x, 加起来得6x，即三项式的中间项。
- 如果常数项有好几个不同的可能因数，那么需要一一解出正确的二项式因式。比如 x² + x - 20，每个二项式里的第一项应该都是x，因为这里的a=1。但是c的绝对值 20可以被分解成20 乘以 1、 10 乘以 2、 5 乘以 4。看b的值，b= 1，因此所有二项式的第二项加起来一定是1。又因为c是负数 - 20，其中一个第二项一定是负数。因为 5 - 4 (或 5 加 - 4) 等于 1，正确的答案是(x + 5)(x - 4)

方法 2 的 5:

特殊情况下分解出正确的二项式因式

1 检查三项式第一或第三项是否是质数。质数是只能被自己或1整除的数，这样因数就少很多了。在这个例子 x² + 6x + 5 中 5 是质数，因此只有一对解。 (x + 5)(x + 1)
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- 三项式x² + 6x + 9 是完全平方式，即(x + 3)(x + 3)。 a 是 1 ，即1 的平方。 c 是 9，是3 的平方，b 是 6 ，即a 、 c 开根号的和的二倍，即 2(1 * 3)
- 三项式4x² + 12x + 9 可以因式分解为(2x + 3)(2x + 3)，也是完全平方式。 a 是 4，或2 平方，c 是 9，3 的平方，b是12，a 和c 开根号的和的两倍， 2(2 * 3)
- 注意如果是完全平方式，这个三项式的a、c一定是正数。若都是负数，提出-1，把a、b、c的符号都变过来，然后再计算。
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Factor-Trinomials-Step-6.jpg\/v4-460px-Factor-Trinomials-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Factor-Trinomials-Step-6.jpg\/v4-728px-Factor-Trinomials-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 看看“三项式”是否实际上是一个可因式分解的二项式。有的二项式也可以分解为两个二项式，形式为ax² - c，a 和 c 都是完全平方数。或者可以看成b等于0的三项式。这些二项式可以分解为两个二项式，其中首项都相同，次项符号不同，绝对值相同。
- 如4 x² - 9 因式分解为(2x + 3)(2x - 3) 。因为2 是4 的平方根， 3是9的平方根。因为正数乘以负数等于负数，因此一个3是正的，一个是负的。得到 4x² + 6x - 6x - 9 或者简单点， 4x² - 9。

方法 3 的 5:

含有隐藏变量的二次方程式

有的三项式看起来是高次的，但是实际上是二次的。看出来了以后，可以以如下方法解决。

1 检查每项变量。如 x⁶ - 7x³ + 12 看起来有6次，但是用个代入法 u=x³得到 u² - 7u + 12。这个也适用于多变量多项式。比如 x⁵y - 7x³y² + 12y³ 得到xy³(u² - 7u + 12) ，这里用的替换是 u = x²/y。这种替代法在任何第二项的次数都是首项的一半的时候都可以用。
2如果可用该替代法，将替代后简单点的多项式因式分解，这里得到 u² - 7u + 12 = (u-3)(u-4)
3 把 x再替代回去，得到 x⁶ - 7x³ + 12 = (x³ - 3)(x³ - 4)，如果可能，或者需要的话，继续因式分解。

方法 4 的 5:

艾森斯坦判别法

这个法则可以用在含有任何项数的多项式中，但是在三项式中尤其好用，因为很多系数都是0。这种方法不是用来因式分解的，但是可以判别是否可以因式分解。

1 把所有第二项和常数项的质数公因数 p找出。
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- 常数项一定是p的倍数但不是 p²的倍数
- 首项一定不是p的倍数
3 如果存在p，能整除除了首项以外的所有项系数，而且只能整除常数项一次，那么这个多项式不能因式分解。可以快速用这种方法判定14x⁹ + 45x⁴ + 51 是无法分解的，因为45 、 51可以整除3，但是不能被14 整除，9也不能被51整除