怎么计算物理问题中的拉力

物理学中，拉力是由绳子、弦、线缆或类似的物体施加在一个或若干个物体上的力。任何被绳子、弦、线缆等拉拽、悬挂、支撑或挥动的物体，都是拉力的受力方。与其他所有力相同，拉力可以使物体加速或变形。计算拉力不仅对于物理系的学生很重要，也是工程师和建筑师的一项必备技能——为了建造安全的建筑，他们必须清楚绳子或线缆能否承受连接在上面的物体带来的拉力而不变形或损坏。这篇文章可以帮你了解如何计算几个物理系统中的拉力。

步骤

单股绳中拉力的计算

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/3\/3c\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/3\/3c\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 定义绳子任意一端的拉力。 一根给定的弦或绳中的拉力是作用在其任意一端的所有力作用的结果。我们给出“力=质量×加速度”这一定律。假设绳子是拉紧的，那么这根绳子所牵引的物体在加速度和质量上的任何改变都会造成绳中拉力的改变。不要忘记恒定的重力加速度：即使对于静止系统，它的每一部分也都会受到重力。我们可以将一根给定的绳子中的拉力表示为T = (m × g) + (m × a)，其中g为重力加速度，a是这根绳子所牵引的物体的其他加速度。
   • 在多数物理问题中，我们都假设所用的绳子是理想的，即这些绳子足够细、没有质量，不能被拉伸或损坏。
   • 这里举一个例子。我们考虑如图所示的一个物理系统：一个物体通过一根绳子悬挂在一根木梁上。物体和绳子都没有在运动，因此整个系统都是静止的。因此，为了使物体保持平衡，绳中的拉力必须等于物体所受的重力，即拉力F_t = 重力F_g = m × g。
     • 假设物体质量为10kg，那么拉力为10 kg × 9.8 m/s² = 98 N
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/d\/d8\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/d\/d8\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 考虑加速度。 除重力以外，任何使系在绳上的物体产生加速度的力也都可以影响绳中的拉力。例如，如果一个悬挂着的物体因绳中的拉力而加速，那么除重力之外，这一“加速力”（质量 × 加速度）也应被考虑到拉力的计算中。
   • 仍采用上面的例子，假设绳子不再被固定在木梁上，而是牵引物体以1m/s²的加速度向上加速运动。那么计算拉力时，除重力外我们也必须考虑到物体的加速度。过程如下：
     • F_t = F_g + m × a = 98 + 10 kg × 1 m/s² = 108 N.
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 考虑旋转加速度。在绳子牵引下绕着圆心运动的物体（如钟摆）因为向心力而对绳子施加一定拉力。向心力是绳子对物体施加的额外的拉力，用于向内“拉”物体，以使物体沿圆弧而不是直线运动。物体运动越快，向心力就越大。向心力的计算公式是F_c=mv²/r，其中m是质量，v是速度，r是物体运动轨迹（圆弧）所在的圆的半径。
   • 因为系在绳上的物体运动的同时向心力的大小和方向都在发生变化，所以绳中的拉力也会变化。其方向永远平行于绳指向圆心。同时恒定的竖直向下的重力一直作用在物体上。因此，如果物体在竖直平面内被旋转或摆动，那么绳中的拉力在轨迹的最低点（对于摆，这一点被称为平衡点）最大，此时运动速度也最大；在轨迹的最高点最小，此时运动速度也最小。
   • 仍采用上面的例子，假设绳子1.5m长，物体在最低点的速度为2m/s，计算最低点处的拉力（亦即拉力的最大值）。我们注意到此时因重力产生的拉力与物体静止时相同：98N。计算因向心力产生的额外拉力：
     • F_c = m × v²/r = 10 × 2²/1.5 =10 × 2.67 = 26.7 N
     • 因此总拉力为98 + 26.7 = 124.7 N.
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/f\/ff\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/f\/ff\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 理解因重力产生的加速度在物体摆动过程中会变化。前面已经指出，向心力的大小和方向在物体摆动过程中都会变化。尽管物体的重力恒定不变，但因重力产生的拉力则会不断改变。当摆动中的物体不处在轨迹最低点（平衡点）时，重力的方向竖直向下，拉力则沿一定角度向上。因此，拉力只需要抵消掉重力的一部分，而不是全部。
   • 将重力分解为两个分量可以帮助我们更直观的理解这一点。在竖直平面内摆动的物体的运动轨迹上的任意一点，设绳与竖直方向（圆心与平衡点连线所在的直线方向）的夹角为θ。物体摆动时，重力mg可以分解为两个分力：沿轨迹切线指向平衡点的mgsin(θ)和沿拉力相反方向的mgcos(θ).拉力只需要抵消与它方向相反的mgcos(θ)部分，而不是整个重力。当然平衡点处除外，此时mgcos(θ)=mg.
   • 仍采用上面的例子，假设绳与竖直方向的夹角为15度时物体的速度为1.5m/s，我们计算绳中的拉力：
     • 由重力导致的拉力 T_g = 98cos(15) = 98(0.96) = 94.08 N
     • 向心力 F_c = 10 × 1.5²/1.5 = 10 × 1.5 = 15 N
     • 总拉力 = T_g + F_c = 94.08 + 15 = 109.08 N.
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/f\/f5\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/f\/f5\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 考虑摩擦力。系在绳上的物体如果受到另一个物体（或流体）的摩擦阻力，则会把这个力“传递”给绳中的拉力。两个物体间摩擦力的计算与其他情况下相同：摩擦力F_r = μ × N，其中μ为两个物体间的摩擦系数，N为垂直于两物体接触面的压力。这里需要注意静摩擦力与动摩擦力的区别：前者是外力试图使静止状态的物体运动而物体没有运动时产生的摩擦力，后者是运动中的物体产生的摩擦力。这里的运动指的都是两物体间的相对运动。
   • 仍采用上面的例子，假设10kg的物体不再摆动，而是被绳子沿水平方向牵引着在地面上运动，物体与地面之间的动摩擦系数为0.5。物体正在匀速运动，但我们希望它以1m/s²的加速度加速运动。这个新的问题有两个变化：首先，我们不再需要计算由重力造成的拉力，因为此时绳子不再需要提供抵消重力所需的拉力；其次，除了因加速导致的拉力外，我们还要考虑因摩擦力导致的拉力。计算过程如下：
     • 物体与地面间的压力N = 10 kg × 9.8 m/s² (重力加速度) = 98 N
     • 动摩擦力F_r = 0.5 × 98 N = 49 N
     • 因加速导致的拉力F_a = 10 kg × 1 m/s² = 10 N
     • 总拉力= F_r + F_a = 49 + 10 = 59 N.

多股绳中拉力的计算

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 用两股绳平行的滑轮抬升重物。滑轮是一种简单机械，它用一个悬挂着的轮子来改变绳中拉力的方向。在一个简单的滑轮系统中，系在一个重物m₁上的绳子绕过滑轮系到另一个重物m₂上，这样这个系统中就包含了两股绳子。绳子两部分中的拉力大小是相同的，即使绳子两端所受的拉力大小不同。若该系统处于竖直平面内，则拉力的大小为2g(m₁)(m₂)/(m₁+m₂)，其中g为重力加速度，m₁，m₂分别为两物体的质量。
   • 物理问题中，我们通常假设滑轮是理想的：没有质量，光滑，不会变形、损坏或与固定它的天花板和绳子等分离。
   • 假设这样的一个滑轮系统中两个重物质量分别为m₁=10kg和m₂=5kg。则绳中拉力为
     • T = 2g(m₁)(m₂)/(m₂+m₁) = 2(9.8)(10)(5)/(5 + 10) = 65.33 N
   • 需要注意，由于两个重物质量不同而其他初始条件都相同，这个系统将开始加速运动，10kg的重物向下而5kg的向上。
2. 2 用两股绳不平行的滑轮抬升重物。滑轮经常被用于改变拉力的方向，使其不再竖直向上或向下。设想一根绳子一端竖直悬挂一个重物，另一端绕过滑轮固定到另一个重物上，而这一侧的绳子保持倾斜，此时系统构成一个三角形，三个顶点分别是两个重物和滑轮。此时绳中的拉力同时受到两个因素的影响：悬挂着的重物的重力和另一重物所受重力沿倾斜绳子方向的分量。
   • 假设我们有一个这样的系统，竖直悬挂的重物质量为10kg，另一重物质量为5kg，位于倾角60度的光滑平面上。为了计算绳中的拉力，最简单的方法是列出使重物加速的力所满足的方程组。过程如下。
     • 竖直悬挂的重物质量更大，系统光滑，因此我们知道该重物将会向下加速运动。绳子对它的拉力竖直向上，因此使该重物加速的力的大小为F = m₁(g) - T = 10(9.8) - T = 98 - T.
     • 我们知道斜面上的重物将沿斜面向上加速运动。斜面是光滑的，因此把该物体向上拉的力只有绳子的拉力，将它向下拉的力只有重力。将它向下拉的重力分量为mgsin(θ)，因此使该重物加速的力的大小为 F = T - m₂(g)sin(60) = T - 5(9.8)(.87) = T - 42.63.
     • 两个重物的加速度应是相同的，所以我们有 (98 - T)/m₁ = (T - 42.63) /m₂。 最终的解是 T = 61.09 N.
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/d\/da\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/d\/da\/Calculate-Tension-in-Physics-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-Tension-in-Physics-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 用多股绳悬挂物体。最后，我们考虑被一组“Y”形绳子悬挂着的物体：两根绳子分别有一端被固定在天花板上，另一端连接在一起，从连接点引出第三条绳子悬挂着一个物体。显然，第三条绳子中的拉力是由物体的重力导致的，故该拉力等于mg。另外两根绳子中的拉力通常是不同的，其在竖直方向的合力应竖直向上，大小等于mg，水平方向合力应为0，以使系统保持静止。这两根绳子中的拉力大小既受到物体重量的影响，也与每根绳子与天花板的交角有关。
   • 假设Y形绳子系统中悬挂的物体质量为10kg，两根绳子与天花板的交角分别为30度和60度。为了计算两根绳子中的拉力T1和T2，我们需要考虑每根绳子上拉力的竖直和水平分量。但在该例中，由于两根绳子恰好成直角，我们可以直接根据三角函数的定义进行计算。此时T1,T2与T=mg的比值分别等于两根绳子与天花板夹角的正弦(sin)值。因此我们有
     • T₁ = 0.5 × m(g) = 0.5 × 10(9,8) = 49 N
     • T₂ = 0.87 × m(g) = 0.87 × 10(9,8) = 85.26 N