怎么求直线方程

要求直线的方程，你需要做两件事：一是知道直线上的一点，而是直线的斜率。但是如何求线上一点以及斜率呢，求得后还需要怎么做才能求出直线方程呢？这些都视情况而定。出于简单，本文以斜截式 y = mx + b为例，暂不讨论点斜式 (y - y₁) = m(x - x₁).

步骤

1 了解基本概念。在求直线方程之前，你需要了解一些基本概念，这些概念是：
- 一个点由一对数字表示，比如 (-7, -8) 或者(-2,-6)。
- 第一个数字代表“x轴坐标”，描述了一点在水平方向的位置（在原点左侧或右侧，以及到原点的距离）。
- 第二个数字代表“y轴坐标”，描述了一点在书脂肪的位置（在原点上方或下方，以及到原点的距离）。
- 两点之间的斜率，定义为“倾斜的程度”，即从一点移动到另一点，竖直方向以及水平方向上移动的距离。
- 如果两条直线不相交，那么两直线平行。
- 如果两直线相交成90度角，那么两直线垂直。
2 辨认出问题的类型。
- 给出一点坐标和斜率。
- 给出两点坐标，斜率未知。
- 一点坐标以及平行直线。
- 一点坐标以及垂直线。
3 使用下面的四种方法之一解决问题。根据所给信息的不同，求解方法也不一样。

方法 1 的 4:

已知一个点和斜率

{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/2\/28\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/2\/28\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 计算方程的截距。截距（表达式中的b）是直线和y轴交点的纵坐标。你可以通过整理表达式来求得直线的截距。新的表达式的形式是：b = y - mx.
- 将斜率和坐标代入上式。
- 用斜率(m)乘以点的横坐标。
- 用点的纵坐标减去上式结果。
- 最后的结果就是 b，即截距。
2 补充表达式：y = ____ x + ____ 。
3 第一个空格处填斜率。
4第二个空格处填截距。
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/8\/84\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-8.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/8\/84\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-8.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 解例题， "已知直线过点(6, -5)，且斜率为2/3，求直线方程？"
- 列方程：b = y - mx.
- 代入数值计算
  - b = -5 - (2/3)6.
  - b = -5 - 4.
  - b = -9
- 代回方程检查，结果确实是-9。
- 写出方程：y = 2/3 x - 9

方法 2 的 4:

已知两点坐标

1 计算两点之间的斜率。“斜率”又叫“坡度”，它描述了在水平方向移动一定距离，在切直方向上升或下降的数值。计算公式是： (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁)
- 将两点的坐标代入公式。（两个坐标意味着有两个“y”值，两个"x"值）先填哪一个坐标都可以，只要保证相应的y值对应相应的x值即可。例如：
  - 点(3, 8)和点(7, 12)。 (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) = 12 - 8 / 7 - 3 = 4/4, 或1。
  - 点(5, 5) 和点(9, 2)。(Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁) = 2 - 5 / 9 - 5 = -3/4。
2 代入一个点的坐标之后，就把这个点划掉，以免不小心再次代入该点。
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/cc\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/cc\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 计算直线的截距。将方程y = mx + b变形为b = y - mx。还是同一个方程，只是字母交换了位置。
- 把斜率和坐标代入。
- 用斜率(m)乘以横坐标。
- 用纵坐标减去上式结果。
- 求得b，或截距。
4 补充表达式：y = ____ x + ____ 。
5 第一个空格处填斜率。
6 第二个空格处填截距。
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/3\/38\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/3\/38\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 解例题。“已知两点(6, -5)和(8, -12)，求直线方程？”
- 求斜率。斜率= (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁)
  - -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2
  - 斜率是 -7/2(从第一个点到第二个点，我们需要先向下移动7，然后向右移动2，所以斜率是-7比2)。
- 列出方程 b = y - mx。
- 代入求解。
  - b = -12 - (-7/2)8.
  - b = -12 - (-28).
  - b = -12 + 28.
  - b = 16
  - 注意：由于横坐标代入的是8，因此纵坐标必须代入-12。如果横坐标代入6，那纵坐标必须代入-5。
- 带回原式，检查结果确实是16。
- 所求方程是：y = -7/2 x + 16

方法 3 的 4:

已知一点坐标和平行直线

1 求已知平行直线的斜率。 y之前没有系数时，对应的x系数就是斜率。
- 比如，y = 3/4 x + 7，斜率是3/4。
- 比如，y = 3x - 2，斜率是3。
- 比如，y = 3x，斜率是3。
- 比如，y = 7，斜率是0 (因为此时x的系数是0)。
- 比如，y = x - 7，斜率是1。
- 比如，-3x + 4y = 8，斜率是3/4。
  - 为了求直线的斜率，需要化简y的系数，比如：
  - 4y = 3x + 8
  - 方程两边同时除以"4"：y = 3/4x + 2
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/6\/67\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/6\/67\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 使用上一步求出的斜率计算直线的截距，公式是b = y - mx。
- 将斜率和坐标代入上式。
- 用斜率(m)乘以点的横坐标。
- 用点的纵坐标减去上式结果。
- 最后的结果就是 b，即截距。
3 补充表达式：y = ____ x + ____ 。
4 第一个空格处填斜率。平行线有相同的斜率，所以第一步求出的斜率就是最终结果的斜率。
5 第二个空格处填截距。
6 解例题，"已知直线过点(4, 3)，且平行于直线5x - 2y = 1，求直线方程？"
- 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率一样，所以先求出已知直线的斜率：
  - -2y = -5x + 1
  - 两边同时除以"-2" ：y = 5/2x - 1/2
  - 斜率是5/2。
- 列出方程：b = y - mx。
- 代入计算。
  - b = 3 - (5/2)4。
  - b = 3 - (10)。
  - b = -7。
- 带回原式，检查结果确实是-7。
- 写出方程：y = 5/2 x - 7

方法 4 的 4:

已知一点和垂直线

1 求出已知直线的斜率。 具体做法参考上一方法。
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-23.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-23.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-23.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-23.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 求出斜率的负倒数。交换分子和分母的位置，然后符号变号。因为两条互相垂直的直线的斜率互为负倒数，所以你需要变换将所求的斜率。
- 2/3变成-3/2
- -6/5 变成5/6
- 3 (即 3/1) 变成-1/3
- -1/2 变成 2
{"smallUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images_en\/thumb\/e\/e8\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-24.jpg\/v4-460px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-24.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.zenmeban.com\/images\/thumb\/e\/e8\/Find-the-Equation-of-a-Line-Step-24.jpg\/v4-728px-Find-the-Equation-of-a-Line-Step-24.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 使用所求得的斜率计算截距。公式是b = y - mx
- 将斜率和坐标代入上式。
- 用斜率(m)乘以点的横坐标。
- 用点的纵坐标减去上式结果。
- 最后的结果就是 b，即截距。
4 补充表达式：y = ____ x + ____ 。
5 第一个空格处填第二步求出的斜率。
6 第二个空格处填截距。
7 解例题。"已知直线过点(8, -1)，且垂直于直线4x + 2y = 9，求直线方程？"
- 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率互为负倒数。先计算已知直线的斜率：
  - 2y = -4x + 9
  - 方程两边同时除以"2"： y = -4/2x + 9/2
  - 斜率是-4/2或-2
- -2的负倒数为1/2。
- 列出方程 b = y - mx。
- 代入计算
  - b = -1 - (1/2)8。
  - b = -1 - (4)。
  - b = -5。
- 带回原式检查，结果确实是 -5。
- 求得方程：y = 1/2 x - 5